Numeros de ouro

               A segmentação ou proporção áurea é um dos mais eficientes recursos existentes de proporcionalidade estética. Foi amplamente utilizada através de toda a História da Arte. Os antigos egípcios já conheciam esta relação e a usaram na construção das pirâmides, também os gregos em seus templos, os grandes artistas em suas pinturas e esculturas e os mestres da música em suas composições.

Introdução:

           O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais 

importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina. Se quiséssemos dividir um 

segmento AB em duas partes, teríamos uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe 

uma, no entanto, que parece ser mais agradável à vista, como se traduzisse uma 

operação harmoniosa para os nossos sentidos. Relativamente a esta divisão, o 

matemático alemão Zeizing formulou, em 1855, o seguinte princípio: 

“Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto 

de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação 

que entre esta e o todo."

Origem: 

              A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as 

pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura 

de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

              Outro exemplo da proporção áurea na antiguidade é o Papiro de Rhind (Egípcio) 
ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado 
aproximadamente no ano 1650 a.C. onde encontramos um texto matemático na forma de 
manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba 
Ahmes de um trabalho mais antigo. Refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o 
número de ouro. Esta razão ou seção áurea também aparece em muitas estátuas da 
antiguidade.

Definição algébrica

A razão áurea é definida algebricamente como:

A equação da direita mostra que  o que pode ser substituído na parte esquerda, resultando em:

Cancelando b em ambos os lados, temos:

Multiplicando ambos os lados por  resulta:

Finalmente, subtraindo  de ambos os membros da equação e multiplicando todas as parcelas por encontramos:

 que é uma equação quadrática da forma  em que 

Agora, basta resolver essa equação quadrática. Pela Fórmula de Bháskara:

A única solução positiva dessa equação quadrática é a seguinte:

 que é o número 

Música

               O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa. O compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra. Este fato pode ser visto na análise da música de Bartók feita por Ernö Lendvai (Béla Bartók: And Analysis of his Music).